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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

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3.
c) Derivar las siguientes funciones utilizando la regla de la división:
1) f(x)=2x−35x+1f(x)=\frac{2 x-3}{5 x+1}
2) f(x)=cos⁡(x)sen⁡(x)f(x)=\frac{\cos (x)}{\operatorname{sen}(x)}
3) f(x)=ln⁡(x)2x2+3f(x)=\frac{\ln (x)}{2 x^{2}+3}
4) f(x)=exex+2f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+2}

Respuesta

1) f(x)=2x−35x+1f(x)=\frac{2 x-3}{5 x+1}

Derivamos usando la regla del cociente como vimos en la clase:

f′(x)=2⋅(5x+1)−(2x−3)⋅5(5x+1)2 f'(x) = \frac{2 \cdot (5x+1) - (2x-3) \cdot 5}{(5x+1)^2}

La derivada ya está hecha, ahora si querés podemos reacomodar un poco:

f′(x)=10x+2−10x+15(5x+1)2 f'(x) = \frac{10x + 2 - 10x + 15}{(5x+1)^2}
f′(x)=17(5x+1)2 f'(x) = \frac{17}{(5x+1)^2}

2) f(x)=cos⁡(x)sen⁡(x)f(x)=\frac{\cos (x)}{\operatorname{sen}(x)}

Derivamos...

f′(x)=−sin⁡(x)⋅sin⁡(x)−cos⁡(x)⋅cos⁡(x)(sin⁡(x))2 f'(x) = \frac{-\sin(x) \cdot \sin(x) - \cos(x) \cdot \cos(x)}{(\sin(x))^2}

Como te decía antes, la derivada ya está hecha, está lista, podrías dejarla así... pero es una pena, porque acá tenemos varias cosas servidas para acomodarla un poco y dejarla más linda

f′(x)=−sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x) f'(x) = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)}
f′(x)=−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)sin⁡2(x) f'(x) = -\frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(x)}
f′(x)=−1sin⁡2(x) f'(x) = -\frac{1}{\sin^2(x)}

Aclaración: No es de capricho que uno la quiere "dejar más linda" jajaja... dentro de muy poco vamos a tener que usar estas funciones derivadas, por ejemplo, en el contexto de una ecuación que vamos a tener que despejar. Entonces vas a ver que nos va a convenir muchas veces reescribirla (por ejemplo, haciendo una distributiva, o todo lo contrario, sacando factor común) para facilitarnos el camino después. Eso tranqui que nos vamos a ir dando cuenta con la práctica qué nos conviene hacer, por ahora solamente estamos aprendiendo a derivar. 

3) f(x)=ln⁡(x)2x2+3f(x)=\frac{\ln (x)}{2 x^{2}+3}

Derivamos:

f′(x)=1x⋅(2x2+3)−ln⁡(x)⋅4x(2x2+3)2 f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot (2x^2 + 3) - \ln(x) \cdot 4x}{(2x^2 + 3)^2}

4) f(x)=exex+2f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+2}

Derivamos...

f′(x)=ex⋅(ex+2)−ex⋅ex(ex+2)2 f'(x) = \frac{e^x \cdot (e^x + 2) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 2)^2}

La derivada ya la tenemos, te muestro cómo la podríamos reacomodar un poco si querés:

f′(x)=e2x+2ex−e2x(ex+2)2 f'(x) = \frac{e^{2x} + 2e^x - e^{2x}}{(e^x + 2)^2}
f′(x)=2ex(ex+2)2 f'(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 2)^2}
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angeles
23 de mayo 21:52
hola profe en el de seno y coseno no entiendo como llegaste a acomodarlo asi
0 Responder
Flor
PROFE
24 de mayo 20:40
@angeles Hola Angeles! Porque fijate que cuando tenemos:

f′(x)=−sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x) f'(x) = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)}

podemos sacar factor común −1-1 en el numerador y nos queda:

f′(x)=−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)sin⁡2(x) f'(x) = -\frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(x)}

Y ahí usamos que sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 :) 

Se ve más claro ahora?
0 Responder
angeles
27 de mayo 19:28
aaa claro, graciass
0 Responder